Тархалтын асуудал дахь тооцооны нарийвчлал /Numerical accuracy for Diffusion problem/

Бүлэг 8

Тархалтын асуудал дахь тооцооны нарийвчлал

8.1 Фурьегийн цуваа

Тархалтын асуудлууд дахь тооцооны нарийвчлалыг судлахад, өмнөх бүлэгт үзсэн энгийн синусын долгионы тэгшитгэлтэй адил байдлаар шинжлэх нь тийм ч хангалттай биш. Тооцоонд анхны нөхцлийн үүрэг гүйцэтгэгч зохиомол функ авах ёстой ба энэ нь Фурьегийн цуваа гэж нэрлэгдэх синусын цуваанаас тодорхойлогдоно. Зураг 8.1 – т үзүүлсэнчлэн 2L урттай блок функыг жишээ болгон авъя. Хэрэв 2А урттай том интервалыг энэ функц дээр авч үзвэл Фурьегийн цуваанаас дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Энд Lj=2A/j бол j бүрэлдэхүүн дахь давалгааны урт болох ба хэлбэлзэл нь дараах тэгшитгэлүүдээс тодорхойлогдоно.

Блок функын тэгш хэмт хэлбэрээс хамаарч синусын илэрхийлэл нь 0 болно. Фурьегийн бүрдүүлэгчийн “хүчдэл” нь хэлбэлзэл a_j – ээр илэрхийлэгдэх ба долгионы уртын функц шиг зураг 8.2 – т дүрслэгдсэн байна. Үүнийг заримдаа хэлбэлзэлийн спектр гэж нэрлэдэг.

8.2 зураг нь блокын урт болох 2L – ээс илүү долгионы уртаар хувиарлагдах зарчмыг харуулж байна. Бага долгионы урттай бүрдүүлэгч харагдаж байгаа боловч энэ нь ач холбогдол багатай. Хэрэв адилхан 2L урттай өөр төрлийн функцад энийг хийвэл үл ялиг өөр хэлбэлзлийн спектрийг гарган авах боловч долгионы уртын зарчим дээр ижилхэн дүгнэлтэнд хүрнэ (энэ бүлэгт дурьдагдах жишээг сонирхоно уу). 2A интервалын урт нь энэ тооцоололд ороогүй болохыг тэмдэглье.

8.2 Шилжүүлэх функц

Фурьегийн цуваанд анхны нөхцөл маш чухал гэдгийг тодорхойлсоны дараах асуудал нь тархалтын тэгшитгэлд эдгээр нь юу болох вэ гэдэг л юм. Анхны нөхцөлд дурын илэрхийллийг авъя.

Энд долгионы тоо k=2pi/L_j болно. Ингээд тархалтын тэгшитгэлийн шийдэл дараах тэгшитгэл болохыг хялбархан шалгаж болно.

Энд байгаа Н нь шилжүүлэх функц (зураг 8.3) бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Энэ нь долгионы бүрийн бүрдүүлэгч нь долгионы уртаас (мэдээж тархалтын коэффициентээс) хамаарсан, засварлагдсан хугацаанд бууралтын хүчин зүйлээр үржигдсэн гэдгийг илэрхийлэх ба богино долгион нь урт долгионоос илүү хүчтэй бууралт өгдөг байна. Тэгэхээр хугацааны дэвшилд богино долгионы тархалтын илүү мөн түүний илүүдэл нь үндсэндээ бүрэн унтарсан байх юм. Энэ нь хурц градиент нь гөлгөржсөн тархалтын тэгшитгэлийн ерөнхий характеристиктэй тохирно.

8.3 Тооцооллын дүрслэл

Эдгээр Фурьегийн цувааны бүрдүүлэгч нь анхны нөхцөлд маш чухал ба сонирхож буй хугацаа t – үед чухал хэвээр байна гэдэг нь тодорхой тооцооллын нарийвчлалыг дүрслэсэн байх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл тооцооллын шилжүүлэх функц нь чухал долгионы уртад аналитик нэгтэйгээ ойролцоо байх хэрэгтэй. Богино долгион нь ямар нэгэн байдлаар системийн улмаас унтран алга болох учир түүний нарийвчлалыг харуулахыг оролдоогүй. Иймд 8.4 – тэй ижил анхны нөхцлөөр эхэлбэл тоон шийдэл нь

Энд n=t/delta t нь алхамын тоо ба ro нь хэрэглэгдэж буй тооцох аргын нэмэгдэлтийн хүчин зүйл юм.  Иймд тооцооллын шилжүүлэх функц нь

Үүнийг аналитик шилжүүлэх функц болох тэгшитгэл 8.6 – тай харьцуулж болох ба delta x, болон delta t нь зарим шаардлагатай нарийвчлал дахь хоёр нийцлээс тодорхойлогдоно. Үүнтэй холбоотой жишээ Бүлэг 9 болон 10 – т өгөгдсөн байгаа.

Үр дүн нь симуляцын нийт хугацаа t – ээс маш их хамаардаг. Үүнийг тайлбарлахдаа хугацааны жинхэнэ утганд (тайвшралтын хугацаа, энэ нь бүрэлдэхүүн тус бүрт өөр өөр байна.) e^-1 рүү хэлбэлзэл нь буурах хугацаа t=(k²D)^-1 – ийг авч үзье. Тэгэхээр

Хэрэв торны интервал хэт их биш бол (мөн psi<1) Кранк-Ничолсоны аргын нэмэгдэлтийн хүчин зүйл дахь боломжит ойролцоолол нь

Энэ нь холбоотой хүчин зүйлүүд тооцооны нарийвчлалыг тодорхойлж байна гэдгийг харуулж байна. Зураг 8.4 – д тооцооллын шилжүүлэх функц нь үүний параметрын функцыг харуулж байна. Мөн Аналитик утга болох e^-1 нь дүрслэгдсэн байна. Дээрхээс зарим нэг дүгнэлтийг бичиж болохоор байна.

·         Хүчин зүйл thetha нь маш хүчтэй нөлөөлөлтэй. Утга нь 0.5 болон түүнтэй ойролцоо байх нь илүү дээр харагдаж байна.

·         Хугацааны алхам нь thetha=0 эсвэл 1 альч үед нарийвчлалтай байхад шаардагдах тайвралтын хугацааны 10% - иас бага байх хэрэгтэй. Хэрэв thetha=0.5 бол 5 дахин их (2.5 гэсэн үг) хугацааны алхам хүлээн зөвшөөрөхүйц байна.

·         Хэрэв thetha=1 бол нарийвчлал нь thetha=0 байх үеийнхээс муу байна. Цагын алхамын ижил утга хоёр тохиолдолд шаардлагатай. Ялгаа нь гэвэл thetha>0.5 их үеийн тогтворшилтыг найдах ч шаардлага байхгүйл гэсэн үг юм.

Энэ хэсгийн хэдэн бүлэг жишээ байхгүй. Гэхдээ их зүйл агуулсан байгаа шүү. Орчуулга муу байж магадгүй. Хүсвэл номыг нь өгч болно.