Шингэн дахь хатуу биеийн хөдөлгөөн /Solid body movement in fluid/

Шингэн дахь хатуу биеийн хөдөлгөөн

Механикт биеийн хөдөлгөөнийг хоёр задлан авч үзнэ. Үүнд шилжих, эргэлдэх гэсэн хөдөлгөөнүүд байна. Үнэндээ биднийг эргэн тойрон шингэн, хатуу гэсэн хоёр төлөв байгаа гэж хэлж болно. Хийг шингэн гэж авч үзэх онолын үндэслэл олон бий. Шилжих хөдөлгөөн нь шугаман хурдатгалын улмаас бий болох бол эргэлдэх хөдөлгөөн нь өнцөг хурдатгалаас үүдэлтэй.

Тэгш өнцөгт координатын системд биеийг дараах хэмжээстэд авч үзэж болно.

• 1 хэмжээст – Бие нэг чиглэлд хөдлөнө. Чөлөөний зэрэг 2 байна. Бие шилжихээс гадна эргэх боломжтой.
• 2 хэмжээст – Бие хоёр чиглэлд хөдлөхөөс гадна 1 чиглэлд эргэх боломжтой. Иймд чөлөөний зэрэг нь 3 байна.
• 3 хэмжээст – Бие гурван чиглэлд хөдлөхөөс гадан гурван чиглэлд эргэлдэх боломжтой. Иймд чөлөөний зэрэг нь 6 болж байдал хүндэрч эхэлнэ.

Биеийн хөдөлгөөнийг хоёр хэмжээстэд дараах зургаар дүрслэн харуулъя.

Биеийн геометр онцлогийг агуулж байх лавлах цэгүүдийг заавал авчз үзэх хэрэгтэй. Дээрх тэгш өнцөгтийн (квадрат) хувьд зөврөн өнцөг болон хүндийн төв нь зайлшгүй хянаж байх шаардлагатай цэгүүд юм. Тооцон бодох математикт/физикт биеийн хөдөлгөөнийг тооцохдоо эхлээд хугацааны алхамын дагуу биеийг эргэлтгүйгээр хэвтээ ба босоо шилжилтийн хэмжээгээр шилжүүлж үүний дараагаар хөрвүүлэх матриц ашиглаж эргүүлдэг.

Дээрх жишээний хувьд хоёр хэмжээстэд ямарваа биеийн хөдөлгөөнийг Лагранжийн аргачлалаар тодорхойлоход шилжих шугаман хэмжээ (dx, dy) болон эргэх хэмжээ эргэлтийн өнцөг (төттө) зэргийг олох хэрэгтэй болж байна. Эдгээр нь Нюьтоны хоёрдугаар хуулиас олдох боломжтой. Ингээд хоёр хэмжээстэд тэгшитгэлүүдийг хугацааны уламжлалын тэмдэглэгээтэй бичвэл:

Дээрх тэгшитгэлд байх M_z нь мушгих хүч (Torque) буюу хөдөлгөөний тоо хэмжээний момент гэж нэрлэгддэг. Тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн хугацааны уламжлалтай байхаар бичвэл:

Энд Iz нь босоо тэнхлэгийг тойрон эргэх биеийн инерцийн момент юм. Шингэний хөдөлгөөн эсвэл гаднаас бие дээр үйлчилэх хүч, биеийн хүчний нийлбэрээр нийт хүчний хэмжээг тодорхойлох ба биеийн массын төвөөс хамаарч уг хүчнээс мушгих хүч буюу моментын хүч тооцогдоно. Эдгээр хүчийг тодорхойлчихвол энгийн төгсгөлөг ялгаварын тусламжтайгаар дараачийн хугацааны алхам дахь хурдны утгыг анхны нөхцлийн тусламжтайгаар ойролцоолох боломжтой. Эргээд хүчнээс олдсон хатуу биеийн хөдөлгөөний хурд нь шингэнд нөлөөлөх ба энэ нөлөөллийг хязгаарын нөхцлийн тусламжтайгаар шингэний урсгалд хамруулж өгнө. Тооцооллыг тогтворшилттой байлгахын тулд хүч ба хурдны уламжлалтай тэгшитгэлийг өндөр эрэмбийн ялгавараар ойролцоолж болно. Эдгээрт Адоф-воршоф, Рунга-Кутта, Онож заслах гэх мэт аргууд байж болно. Харин хөдөлгөөний тэгшитгэлийг эйлэрийн ялгавараар ойролцоолоход болно. Тооцооллын нарийвчлалыг сайжруулах бол дээрх хэлсэнчлэн өндөр эрэмбийн ойролцооллыг хүч-хурдны уламжлалтай тэгшитгэлд ашиглана. Хүч ба моментын хүчний харьцааг бичвэл:

Хүндийн төв R нь орон зайн вектор, Fi нь хүчний вектор учир Mi нь моментын хүчний вектор болно. Хоёр векторын үржвэрээс векторыг гарган авахыг вектор үржвэр (cross or vector product) гэж нэрлэнэ. Хүч нь биеийн гадарга дээр үйлчилж байгаа учир хүч үйлчлэх цэгээс биеийн хүндийн төв хүртэлх зай нь хүчний мөр байх ёстой. Дээрхийг матриц тэмдэглэгээнд оруулбал:

Энд I,j,k нь ортогональ векторууд бөгөөд ветор үржвэр нь баруун гар талын матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна. Тодорхойлогч олох Саррусын дүрмээр бол:

Иймд хоёр хэмжээстэй үед дээрх вектор үржвэрийн i болон j – тэй үржвэрүүд 0 болж зөвхөн k үлдсэнээр дараах моментийн хүч гарч ирнэ.

Биеийн шугаман шилжилтийг хийсний дараа олдсон өнцөгөөр биеийг эргүүлэхийн тулд хөрвүүлэх матриц ашиглах тухай дээр дурьдсан. Хөрвүүлэх матриц нь дараах байдлаар өгөгдөнө.

Энд өгөгдөх x,y нь анхны цэгүүд ба төттө өнцөгөөр эргэсэний дараах координат нь x’, y’ тус тус болно. Өөрөөр хэлбэл дээрхи нь дараах шугаман алгебрийн тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ.

Үнэндээ бол тэгшитгэл 7-д өгөгдсөн хөрвүүлэх матриц нь босоо тэнхлэгийн дагуу эргүүлж буй матриц юм. Бусад тэнхлэгийн дагуу эргүүлэх хөрвүүлэх матриц нь дараахаар өгөгдөнө.

Тэгвэл гурван хэмжээстэд зургаан чөлөөнд хөдлөх хатуу биеийн тэгшитгэлийн системийг бичвэл:

Дээрх тэгшитгэлд хүч, моментийн хүч, инерцийн момент зэргийг тодорхойлох нь төвөгтэй байдаг. Тухайлбал усан завины тогтворшилтыг дээрх 12 тэгшитгэлийг шийдвэрлэсэнээр үнэлэх боломжтой. Аливаа шингэний гадарга болон түүн дотуур умбаж буй хатуу биетийг гурван хэмжээстэд тооцоолох нь чөлөөний зургадугаар зэрэгт толгойгоо ажиллуулах шаардлага гарч байгаа юм.

Хоёр хэмжээстэд дугуй хэлбэртэй хатуу биеийн шилжих хөдөлгөөнийг ЛБА ашиглан тооцон бодох кодыг бичиж байна. Шингэний урсгалд хатуу биеийн хөдөлгөөнийг тооцож үзэх нь биеийн эргэлт болон хөдөлгөөн шингэний урсгалд хэрхэн нөлөөлдгийг гидравликийн хөрвөх зарчмаас ангид судлах, биеийн хөвөлт, барилга байгууламжийн шилжилт зэргийг тооцох гэх мэт юм. 

Доорхи слайдуудыг сонирхоно уу. 

Эхний үр дүн