Шингэний динамик дахь тенсор шинжилгээ /Tensor in Fluid dynamics/

Шингэний динамик дахь тенсор шинжилгээ: Тенсорын шилжүүлэг болон Морын хамаарал

"Шингэний кинематик динамикт шилжих гуравдугаар хэсэг"

Морын дугуй нь 2 хэмжээст Кошийн хүчдэлийн тенсоруудыг хувиргах хуулийг харуулсан график арга юм. Тодорхой цэг дээрх хүчдэлийн утга мэдэгдэж байхад Морийн дугуйг ашиглан дурын хавтгай дээрх хүчдэлийн бүрдүүлэгчүүдийг тодорхойлох боломжтой. Кошийн тодорхойлсоноор нил орчинд байх нэг цэгт нийтдээ 9 ширхэг хүчдэлийн бүрдүүлэгч байх тэдгээр нь 2, 0 төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн тенсорууд болно. Хүчдэлийн тенсоруудыг матриц хэлбэрээр бичвэл:

Энэ бол ерөнхий тэгш өнцөгт координатын системд авч үзэж тодорхойлж буй хүчдэлүүдийн бүрдүүлэгчүүд бөгөөд дурын хавтгай дээрх хчүдэлийн бүрдүүлэгчүүдийг тодорхойлохдоо уг хавтгайн ерөнхий координаттай үүсгэх өнцөгөөр бүх тенсоруудыг эргүүлэх шаардлагатай болно. (Maple програм дээрх математик гаргалгааг дараах бичлэгнээс үзээрэй.)

Энэ эргүүлэх үйл ажиллагааг тенсорын шилжүүлгийн хууль гэж нэрлэнэ. Энгийнээр хэлбэл проекцлох, тусгалыг олох гэж болно. Хялбар болгох үүднээс хоёр хэмжээст хавгай х, у дээр бий болж буй тенсоруудыг авч үзье. Хоёр хэмжээстэд дурын Р цэг дээрх хүчдэлийг ерөнхийдөө 3-хан хүчдэлээр тодохойлж болно. Үүнд тухайн цэгийг дайрч өнгөрөх х, у хавтгайд чиглэлтэй 2 шүргэх хүчдэл, уг хавтгайнуудад нормаль байх 2 нормаль хүчдэл байна. Өнцөг хуртадгал хадгалагдах хуулиас хамааруулж Кошийн хүчдэлд тэгш хэм хадгалагдах учир 2 шүргэх хүчдэлийг тэнцүү буюу нэг шүргэх хүчдэлээр авч үзэж болно. Иймд дараах гурван тенсор хоёр хэмжээст хавтгайд буй Р цэгт олдох боломжтой:

Эдгээр хүчдэлүүд дараах зурагт харагдаж байгаагаар мэдэгдэж байхад эргүүлсэн x’,y’ координатын системд харгалзах ерөнхий хүчдэлүүдийг олоход Морийн дугуйг хэрэглэж болно. Эсрэгээр нь тэта өнцөгөөр эргэсэн тэнцлэг дээрх хүчдэлүүд мэдэгдэж байхад х, у тэнхлэг дээрх дээр дурьдсан гурван хүчдэлийг илэрхийлэх боломжийг Морын дугуй болон тенсорын шилжүүлгийн хууль олгоно.

Зураг 1. Хоёр хэмжээст хавтгай дээрх Р цэгийн хүчдэлт төлөв (гол болон сувгийн ёроолд байх нөхцлөөр зурав)

Шилжүүлгийн хуулийг гарган авахын тулд үндсэн тэнхлэг х, у –ийн дагуу дотоод хүчднүүдийн тэнцэтгэлийг бичиж болно. Үүний тулд дүрсэлсэн хавтгай дээрх дотоод хүчнүүдийг хүчдэлийг талбайгаар үржиж олно. Өгөгдсөн Р цэгийг агуулж буй элементар биетийг авч үзвэл хоёр хэмжээст хавтгайд z тэнхлэгийн дагуу нэгж өргөнтэй х, у хавтгайд байх гурвалжин байна. Түүний гипотенуз дээр нь Р цэг орших ба талбайг А гэж тэмдэглэвэл бусад катетуудын талбайг тэта өнцөгөөр тусгаж (проекцолж) тодорхойлж болно. Ингээд х болон у тэнхлэгийн дагуух хүчний тэнцэтгэлийг бичвэл:

болох ба энд х, у –ийн зүүн болон хойш харсан чиглэлүүдийг эерэгээр авсан бөгөөд сөрөг тэмдэгтэй хэсгүүдийг тэнцүүгийн тэмдэгийн эсрэг талд гаргасан болно. Дээрхээс харвал А талбайд хуваавал бүх илэрхийлэл А –аас үл хамааралтай болж:

Эндээс хоёр үл мэдэгдэгч тау болон сигмагийн орхицуудыг тодорхойлбол:

Энд тодорхойлсон \(\sigma’\) нь х’ тэнхлэгийн дагуу байгаа учир \(\sigma’_{xx}\) бөгөөд \(\sigma’_{yy}\) олохын тулд x тэнхлэг дээр дахин дотоод хүчний тэнцэтгэл бичих ба энэ удаад \(\sigma’\) оронд \(\sigma’_{yy}\) – ийг авч үзнэ. Ингээд Р цэг дээрх гурван шилжүүлсэн хүчдэлийг тодорхойлбол:

болно. Энэ илэрхийлэл нь Рейнольдсын хүчдэлүүдийг тодорхойлох, тэдгээрийг голдиролын ёроолын хүчдэлээр илэрхийлэх боломжийг олгож байгаа юм. Шилжүүлгийн хүчдэлүүдийг гаргахын тулд дараах тригонометрийн адилтгалыг ашиглана.

Дээрх шилжүүлгийн томъёог матриц хэлбэрээр бичвэл:

бөгөөд гурван хэмжээстэд шилжүүлгийг

Хоёр хэмжээстэд байх тенсорын шилжүүлгийн томъёог сайн ажиглавал Морын дугуйн хамаарал гарч ирнэ. Морын дугуйг ашиглан график аргаар тенсорын шилжүүлэх буюу ерөнхий тэнхлэг дээр мэдэгдэж байгаа хчүдэлүүдийг ашиглан дурын хавтгай дээр үйлчлэх хүчдэлүүдийг олж болно. Дээрх зураг 1 – т харагдаж байгаа хүчдэлүүд мэдэгдэж байна гэж үзээд Морын дугуйг байгуулах алхамуудыг авч үзье.

• Хэвтээг \(\sigma\), босоод \(\tau\) байх тэгш өнцөгт координатын системийг зурна.
• Тэнхлэг дээр A болон B гэсэн цэгүүдийг байгуулж хоёр цэгээ хооронд нь холбоно.
• Ингэхэд АВ хэрчим сигма тэнхлэгтэй огтлох цэгийг Морын дугуйн төв гэж үзнэ.
• Уг төв дээр төвлөсөн А ба В цэгийг дайрсан тойрог татахад Морын дугуй байгуулагдана.

Тэта өнцөгөөр налсан хавтгай буюу хүчдэлүүдийг тэта өнцөгөөр эргүүлэхэд ямар болох вэ гэдгийг уг тойргыг ашиглан тодорхойлж болно. Ингэнхийн тулд тойргоын төвөөс \(\2 theta\) өнцөгөөр цацраг татах ба огтолсон цэгт , эсрэг талд нь тодорхойлогдоно. 

Зураг 2. Морийн дугуйг байгуулж ерөнхий хамгийн их ба хамгийн бага хүчдэлүүдийг олох, хүчдэлийг дурын хавтгайн байрлалд тодорхойлох схем

Хүчдэлийг эргүүлэх, тусгалыг олох болон хэвгийн өнцгийг хэвгийн хамаарлаар илэрхийлэх зэрэг үйлдлүүдэд дараах тригонометрийн хамаарлууд өргөн хэрэглэгдэнэ. Эдгээрийг хоёр өнцгийн хамаарлууд гэнэ.

Дээрхэд S нь голдиролын хэвгий болно.
Морын дугуйн талаар Др.Д.Ганбат багшийн маш ойлгомжтой хичээлийг эндээс бас үзээрэй.