Рейнольдсын дундажилсан Навьер-Стокесийн тэгшитгэл /Derivation of Reynolds equations (RANS)/

Рейнольдсын дундажилсан Навьер-Стокесийн тэгшитгэлийн гаргалгаа

'Шингэний кинематикийн 2-р хэсэг'

Навьер-Стокесийн тэгшитгэл нь бодит буюу Нюьтоны шингэний урсгалыг илэрхийлэх гурван хэмжээст момент хадгалагдах буюу физик талаас хөдөлгөөний тоо хэмжээ хадгалагдахыг илэрхийлсэн тэгшитгэл юм. Навьер-Стокесийн тэгшитгэлийн гаргалгааг эндээс бас Гидравликийн цэнхэр судраас харж болно. Их ойлгомжтой бий. Үндсэндээ бол Навьер-Стокесийн тэгшитгэлээр турбулент урсгалыг илэрхийлэхэд маш төвөгтэй. Яагаад гэвэл турбулент урсгалд урсгалын хурд ямагт савалгаатай байх ба дунджаас хазайх савалгааг хурдны цүлхэлт буюу пульсац (fluctuation or oscillation) гэж нэрлэдэг.  Хурдны лугшилтын талаар Стандарт К-Эпсилон загвар гэсэн нийтлэлд зурагтайгаар тайлбарласан байгаа. Анх алдарт Осборне Рейнольдс уг шинж чанарыг ажиглаад хурдны оронг задалж үзэж болох юм байна гэсэн санааг дэвшүүлсэн нь Рейнольдсын задаргаа (Reynolds decomposition) гэж тэмдэглэгдсэн байна. Уг хурдны задаргаагаа Навьер-Стокесийн тэгшитгэлд орлуулж хугацааны туршид интегралчилбал турбулент урсгалыг илэрхийлэх арай ойлгомжтой Навьер-Стокесийн тэгшитгэл гаргаж авч болно гэдгийг баталжээ. Ингээд тухайн тэгшитгэлийг Рейнольдсын дундажилсан Навьер-Стокесийн тэгшитгэл (Reynolds averaged Navier-Stokes equation – РДНС тэгшитгэл) гэж нэрлэсэн бөлгөө. Ингээд РДНС (хурдан хэлбэл эРДэНэС гэж сонсогдох нь. Ер нь Монгол хэлэнд юмсыг товчлоход үгийн эхний үсгүүдээр хийх нь тохиромжгүй мэт. Монгол хэлний онцлог бол кирилл үсэг биш эгшиг жийрэглэж явдагт л учир байгаа юм.) тэгшитгэлийн гаргалгааг авч үзье.

Усан баганын задралын шинжилгээ, РДНС-ын аналогоор загварчилсан. Дөрвөлжин саад хэмжээсгүй оновчгүй зурагдсан байгаа шүү.

Навьер-Стокесийн тэгшитгэлийг гурван хэмжээстээр авч үзье.

Тэгшитгэлийн эхний хэсгийг хурдатгалын хэсэг, ард талын хэсгийг гадаад хүчний хэсэг гэж авч үзвэл ma=F болж байгаа юм. Энд байх адвекцийн /шилжилт/ -ийн хэсгийг үржвэрээр дифференциал авах

дүрмийн адилтгалыг ашиглан хялбарчлан дараах байдлаар бичиж болохоор байна.

Дээрх задаргааны эхний баганын 3-н илэрхийллийг НС тэгшитгэлийн х тэнхлэгийн чиглэл дахь адвекцийн хэсгийг сонгож аваад (эхний тэгшитгэл гэсэн үг) орлуулбал дараах байдалтай болно.

Энд хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь урсгал тасралтгүйн буюу масс хадгалагдах тэгшитгэлийг илэрхийлэх ба үл шахагдах шингэний урсгал гэж үзвэл тэг болно. Дээрх шиг үйлдлийг үлдсэн тэгшитгэлүүдийн адвекцийн буюу шилжилтийн гишүүдэд хийж болно. Ер нь хийнэ. Үүний дараа хялбарчилж зунгааралттай холбоотой хэсгийг, мөн гадаад хүчнээс зөвхөн хүндийн хүч үйлчилж байгаа (f_z=-g) гэж үзээд зөвхөн х болон z тэнхлэгт НС-ийн тэгшитгэлийг бичье.

Дээрхээс харвал y – тэй холбоотой бүх гишүүд алга болсон байгаа. 3-н хэмжээстэд бол бүх гишүүд бичигдэх болно. За эндээс урсгалын хурдны векторууд, болон даралтыг дундаж болон цүлхэлтийн хэсгүүдээр салгавал:

болох ба эдгээрийг дээрх хоёр тэгшитгэлд орлуулж хугацааны дундажыг авч үзнэ. Жишээ болгон х тэнхлэгийн дагуух тэгшитгэлийг авч үзье. Хурд болон даралтын задаргааг орлуулбал:

болох ба цүлхэлт нь сөрөг утгатай байж болох учир сөрөг гарах илэрхииллүүдийн хугацааны дундаж нь тэг болно. Тэг бус гишүүдийг цуглуулж мөн адил зарчмаар ажиллаж z тэнхлэгийн тэгшитгэлтэй хамт эцсийн тэгшитгэлийг бичвэл:

Дээрх тэгшитгэлд цүлхэлтийн утгуудын дээгүүр зураастай авсан байгаа нь хугацааны хувьд дундажилсан утгууд шүү гэдгийг илэрхийлж байгаа юм. Даралтын араас бичигдэх хурдны өндөр эрэмбийн дифференциалууд нь Рейнольдсын хүчдэлүүд гэж нэрлэгдэх бөгөөд дээрх тэгшитгэлийг заримдаа Рейнольдсын тэгшитгэл гэнэ. Рейнольдсын дундажилсан Навьер-Стокесийн тэгшитгэл нь мэдээж зунгааралтын хүчдэлүүдийн дундажилсан утгуудыг мөн агуулсан байх ёстой. Рейнольдсын хүчдэлүүдийг матриц тенсор байдлаар бичвэл:

Эндээс цааш гүехэн усны тэгшитгэл, моментын тэгшитгэл, хуйлралтын тэгшитгэл гэх мэт инженерийн гидравликийн сонгодог тэгшитгэл, хуулиуд хөврөх болно доо.

Гэхдээ тосолгооны онол буюу трибологид Рейнольсын тэгшитгэл гэж тэгшитгэл байх ба энэ нь хоёр хатуу хэсгээр хүрээлэгдэн шахагдсан шингэний даралтын тархалтыг илэрхийлдэг. Тиймээс яг ямар Рейнольдсын тэгшитгэлийг ярьж байгааг сайтар анхаараарай.