Шингэний кинематик үндэс, түүнд шаардлагатай математик /Fluid kinematics and Applied mathematics/

Шингэний кинематик үндэс, түүнд шаардлагатай математик

"Тэргүүн хэсэг"

Шингэний кинемтик, тэр дундаа динамик талаас нь хальт гадарлаж байснаас бүр нарийн онолын түвшинд очиж байсан удаагүй юм байна. Бакалавр оюутан байхдаа ерөнхий гидравликийн хичээлээр шингэний кинематикийн талаар үзэж байсан бөгөөд мастерийн ажил хийж байхдаа буцаж хальт сөхөж байсан. Харин докторын судалгаа хийж байхдаа нилээд эргэн сөхөж чамгүй судалж байсан ч бас л зарим нэг чухал зүйлс, онол, тодорхойлолт, зарчим зэргийг сурч шинжилж амжаагүй юм байна. Шингэний механик, гидравликийн хамгийн сайн Монгол ном гэвэл П.Болд нарын Гидравлик, аэродинамик гэсэн “судар бичиг” гэдэгт одоо бүр эргэлзэхгүй боллоо. Энэ жил ШУТИС-ийн 60 жилээр шинэчлэгдэн 60 үндсэн сурах бичгийн нэг болж хэвлэгдэнэ. Цаашдаа ч улам сайжрах ном шүү. Кинематикийн талаар дэлгэрүүлж англи дээр судалж байхад зарим нэг ойлгомжгүй зүйл их гарна. Харин тэр үед Монгол номтойгоо харьцуулаад үзэхээр сайтар ойлгож эхэлнэ. 

Трапец хэлбэрийн ус халиагуур дээгүүрх чөлөөт гадаргуутай урсгалын "урсгалын шугам"

Шингэний кинематикт шингэний хөдөлгөөнийг түүнийг бий болгож байгаа гадны болон биеийн хүч, моментыг чухалчилгүйгээр судалдаг. Шингэнийг кинемтаик талаас нь судлахдаа Эйлэрийн болон Лагранжийн аль нэг аргыг хэрэглэнэ. Лагранжийн арга нь шингэний элементар хэсэг буюу эгэл хэсгийн хөдөлгөөнийг түүний байрлалын болон хурдны вектороор дамжуулан судлах бол Эйлэрийн арга нь шингэн орчинг нил бөгөөд тасралтгүй орчин гэж үзэж хурд, хурдатгалын орон зайн-хугацааны веткор орон, даралт, температур зэргийг орон зайн скаляр оронг гэж үзээд судална.

Тухайлбал хурдатгалыг Лагранжийн аргаар тайлбарлавал Нюьтоны 2-р хуулиас

болно. Дээрх томъёонд i индекс нь шингэний тухайн нэг элемент буюу эгэл хэсгийг нэрлэж байгаа болно.  Мөн дээрх илэрхийлэлд бүрэн дифференциалыг тухайн дифференциалд шилжүүлсэн бөгөөд бүрэн болон тухайн дифференциалын хамаарлыг ерөнхий байдлаар илэрхийлбэл:

болох ба энд набла буюу градиентын тэмдэглэгээг ашилав. Хурдны вектор нь набла тэмдгийн өмнө байгаа учир наблатай скаляр үржвэр (dot product) хийгдэнэ гэсэн үг. Градиент буюу набла нь:

Үүнээс гадна Эйлэрийн болон Лагранжийн арга хооронд шилжүүлэг хийхэд материаллаг дифференциалын аргыг (нэг ёсондоо бүрэн дифференциал юм л даа) хэрэглэнэ. Материаллаг дифференциалыг орон-зай болон хугацаанаас хамааралтай ямар нэгэн макро-орчны тенсор функцыг тодорхойлоход ашиглана. Тодорхойлолт нь:

Нэгэнт наблаг дурьдсан учир градиент буюу скаляр орны вектор дифференциал, векторын эрчлээс буюу рот, векторын сарнилт буюу дивергенцийн талаар авч үзье. Гадиент нь:

гэж илэрхийлэгдэх бол дивергенц нь векторын градиенттай хийгдэх скаляр үржвэрээс гарах скаляр функц байдлаар

гэж илэрхийлэгдэнэ. Скаляр үржвэрийг (dot product) цэгээр тэмдэглэнэ. Харин векторын эрчлээс нь нэгж вектор, набла, макро-орчны векторуудаас бүрдсэн матрицийн тодорхойлогч буюу векторуудын вектор үржвэрээр (cross or vector product) тодорхойлогдох ба илэрхийлбэл:

Вектор үржвэрийг хийхдээ баруун гарын дүрмийг сайтар баримтлах хэрэгтэй. Товчхондоо хэлбэл (салаавч гаргах байрлалд очоорой. кк) долоовор болон дунд хурууны чиглэлд байгаа векторуудын үржвэр эрхий хуруулуу чиглэсэн вектор гарна. Дээрх гурав дээр нэмэгдээд шингэний кинематикийг тооцон бодоход потенциал урсгалыг ашиглах бол Лапласын оператор хэрэглэгдэнэ. Лапласын оператор нь градиент векторын скаляр үржвэрүүд бөгөөд илэрхийлбэл:

Уламжлалыг f’ мөн дифференциал хэлбэрээр df гэж бичиж болно гэдгийг сануулъя. Гэхдээ уламжлал, дифференциал хоёр нь ялгаатай зүйл болохыг хэлье. Уламжлал нь тухайн функцад гарах өөрчлөлтийг, харин дифференциал нь тухайн функцын аргументтай холбоотой өөрчлөлтийг харуулна. Мөн өөрөөр функцын утгын өөрчлөлтийг (dy/dx) уламжлал, функцын бодит өөрчлөлтийг (dx) дифференциал гэнэ.

Кинематикт урсгалыг тогтворжсон ба тогтворжоогүй хөдөлгөөнтэй гэж авч үзнэ.

Тогтворжсон хөдөлгөөн – Steady flow – урсгал нь хугацааны функц биш буюу үр хамаарна – хугацаанаас хамаарах бүхий л тухайн дифференциалууд буюу уламжлалууд тэгтэй тэнцүү байна.

Тогтворжоогүй хөдөлгөөн – Unsteady flow – урсгал нь орон зай болон хугацааны функц болно.

Тогтворжсон хөдөлгөөнийг цаашид жигд (uniform flow) болон жигд бус хөдөлгөөн (varied flow) гэж инженерийн гидравликаар дэлгэрүүлж судалдаг. Тогтвржсон хөдөлгөөний аналитик нөхцөлийг Гидравликийн цэнхэр номонд

гэж заасан нь туйлын үнэн. Ихэнх номонд хугацаанаас хамаарсан тухайн дифференциал нь тэг байвал урсгалыг тогтворжсон гэж үзэх боловч дээрх байрын хурдны дифференциал нь тэг байх нөхцөл нь хүрэлцээгүй нөхцөл юм. Түүний оронд 

dQ/dt=0 бол тухайн урсгал тогтворжсон хөдөлгөөнтэй байх хүрэлцээтэй бөгөөд хангалттай нөхцөл болно.

Элементар хэсгийн байрын хурдны векторт шүргэгч байх цэгүүдийг тухайн элементар хэсгийн урсан өнгөрөх орон зай болгонд холбовол урсгалын шугам (Streamline) тодорхойлогдох ба урсгалын шугамуудын багцыш урсгалын гуурс (stream tube) гэнэ. Урсгалын шугамыг тогтворжсон хөдөлгөөнөөс бусад хөдөлгөөний үед шууд ажиглах боломжгүй. Харин тогтворжсон хөдөлгөөний үед урсгалын шугам нь мөрийн шугам (pathline) болон урсгалын зурвастай (streakline) давхцана. Бусад үед өөр байж болох ба урсгалын шугам өөр хоорондоо хэзээч огтлолцохгүй. Урсгалын шугамын тодорхойлолт нь:

Бөгөөд эндээс гидравликийн цэнхэр номны 3.8 –д байгаа тэгшитгэл гарч ирнэ. Урсгалын зурвас гэдэг нь тодорхой орон зайн дагуу тасралтгүй дайран өнгөрч байгаа шингэний бүх эгэл хэсгүүдийн цэгүүдийн байрлалын оронг харуулна. Шингэний урсгалд нэг цэгээс будаг эсвл утаа өгөхөд уг будаг эсвэл утаа нь урсгалын зурвасын дагуу зөөгдөх болно. Урсгалын зурвасыг

гэж томъёолох бөгөөд энд i эгэл хэсгийн хурд сонирхож буй хугацаа зэрэг байна. Мөрийн шугамууд нь тухайн эгэл хэсгийн явсан траекторыг хэлэх бөгөөд

гэж илэрхийлэгдэнэ. Мөрийн шугамыг Лагранжийн аргад ашиглахад маш хялбар байдаг. Дээрх шугамуудаас гадна хугацааны шугам (time lines) гэж байх ба энэ нь тухайн агшин дахь бүлэг эгэл хэсгүүдийг дайруулан татсан шугам байна. Энэ шугам нь дээрх бусад шугамуудтай перпендукляр эсвэл ямар нэгэн өнцгөөр огтлолцсон байж болно. Тогтворжсон горимой үед хугацааны шугамаар урсгалын хурны хуваарилалтыг харах боломжтой.

Авч үзэж буй шингэний элементар хэсэг нь тодорхой хугацааны агшины дараа хэв гажилтанд орсон байж болно. Боломжит хэв гажилтууд нь шилжилт (translation), эргэлт (rotation), суналт (strain), шахалт буюу шүргэлт (shear strain) байна. Эдгээрээс хамгийн хялбар нь шижлилт бөгөөд энэ нь зөвхөн байрлалын өөрчлөлтийг, харин эргэлт нь ямар нэгэн өнцгөөр эргэсэнийг заана/үзүүлнэ. Суналт, шахалт зэрэг нь ямар нэг хүчний, даралтын, моментын үйлчлэлээр хэв гажилт хэлбэр дүрсийн хувьд бий болохыг үзүүлэх ба шугаман суналт нь нэг тэнхлэгийн дагуух хэв гажилт, шүргэлтийн суналт нь чөлөөний зэрэгтэй тэнцүү тэнхлэгт хэв гажилтанд орохыг хэлнэ. Дээрх хэв гажилтуудыг илэрхийлбэл:

Ерөнхийдөө шугаман болон шүргэх суналтын утгуудыг нэгтгэн хоёрдугаар эрэмбийн тенсор (нэг тэнхлэгт перпендукляр, нөгөө тэнхлэгт чиглэлтэй учир) байдлаар бичиж болох ба үүнийг суналтын утгын тенсор гэж нэрлээд дараах байдлаар бичиж болно:

Вектор бол гурван чиглэлтэй байдаг бол тенсор 9-н чиглэлтэй (мөн утгатай) байна. Өөрөөр эхлбэл тэгш өнцөгт координатын хавтгай бүрт гурван чиглэлд тенсорууд ноогдоно гэсэн үг юм. Тухайлбал шингэний урсгалын хурдны зөрүүгээс үүсэх шүргэх хүчдэлийн тенсорыг бичвэл

Гэхдээ шүргэх хүчдэлийн эдгээр тенсор нь зөвхөн бодит буюу Нюьтоны эсвэл зунгааралттай шингэнд бий болно.

Хуйлралтаас эсвэл урсгал тасралтгүйн тэгшитгэлээс хурдны потенциал болон урсгалын функц (Stream function) хэмээх функцыг гарган авч болно. Хуйлралтаас потенциалыг гарган авахын тулд урсгал хуйлралтгүй байна гэсэн нөхцлийг авч үзнэ. Ингэхэд хуйлралтын вектор нь дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.

Урсгал тасралтгүйн тэгшитгэлээс урсгалын функцыг гаргахын тулд урсгал нь тогтворжсон, үл шахагдах (нягт өөрчлөгдөхгүй) бөгөөд хоёр хэмжээстэд байна гэж үзвэл тэгшитгэл:

Дээрх хоёроор харвал аль нэг байрын хурдны тухайн уламжлал буюу дифференциал нь нөгөө байрын хурдныхаа тухайн дифференциалтай тэнцүү байна. Иймд дээрх нөхцлүүдийг хангах ямар нэгэн функц байна гэж үзэж болох бөгөөд уг функцыг хурдны потенциал болон урсгалын функц гэнэ. Хурдны потенциал болон урсгалын функцыг хооронд нь хольж ойлгож болохгүй. Тухайлбал (энд жишээ болгож x, y чиглэлд л авч үзье) эдгээр функцууд нь

Лапласын тэгшитгэлийг ашиглан шингэний кинематикийг илэрхийлэх аргыг ерөнхийд нь потенциал хөдөлгөөний (potential flow)арга гэж хэлж болно.

Хуйлралтгүй урсгалыг тооцон бодохын тулд потенциал урсгалын шийдлийг (potential solution) ашиглах бөгөөд энэ нь тэгш өнцөгт координатыг урсгалын функц болон потенциал функцын координатруу шилжүүлэн хялбар байдлаар тооцдог байна. Өөрөөр хэлбэл x-y координатын оронд φ-ψ координатын системийг хэрэглэнэ. Энэ координамтын систем нь урсгалын шугамын муруйлтаас зайлсхийх том боломжийг олгодог. Урсгал тасралтгүйн тэгшитгэлээс гадна динамик орж ирвэл моментын тэгшитгэлийг авч үзнэ. Урсгалын уг тухайн дифференциал тэгшитгэлүүдийг интегралчлахад Либнецийн интегралын дүрмүүд маш чухал. Түүнийг илэрхийлбэл:

Лейбнизийн интегралын дүрмийг ашиглахдаа үндсэн хэлбэрийг нь ашиглахыг эрмэлзэх хэрэгтэй. Хэрэв интегралын доторхи функц нь үржвэр, давхар функц байх юм бол энэ маш болгоомжтой ажиллах хэрэгтэй.